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Hochgeladen am 15.03.2006 von Stefan

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Flugteilchen im Kondensator

Ein Flugteilchen, welches sich durch einen Kondensator bewegt und vom dort herrschenden elektrischen Feld beeinflusst wird ist Teil jedes Physik - Leistungskurses. Der folgende Aufschrieb soll die Zusammenhänge zwischen Teilchen, elektrischem Feld und einem eventuell vorhandenen magnetischen Feld verdeutlichen.

Fall 1: Bewegtes Teilchen im Kondensator/elektrischen Feld

Problem #1: Ein einfach positiv geladenes Proton durchquert einen Kondensator, an dem die Spannung U = 50 V anliegt. Die beiden Platten des Kondensators sind 5 cm auseinander. Vor dem Eintritt in den Kondensator beträgt die kinetische Energie des Protons 5 * 10-16 Joule. Welche kinetische Energie hat es nach Durchqueren des Kondensators, wenn das Proton

a) längs des elektrischen Feldes
b) dem elektrischen Feld entgegen

fliegt?

Skizze:

Beschleunigung eines Teilchens durch einen Kondensator

Ansatz: Kondensatoren, in denen ein elektrisches Feld herrscht, können bewegte Teilchen abbremsen oder beschleunigen, je nach dem wie das Teilchen den Kondensator durchquert. Fliegt das Teilchen mit/längs dem elektrischen Feld, wird es beschleunigt. Fliegt es dem elektrischen Feld entgegen, wird es abgebremst.

Berechnung der kin. Energie des Teilchens

Wenn das Teilchen gegen das elektrische Feld fliegt muss die Überführungsarbeit W einfach von der ursprünglichen kinetischen Energie abgezogen werden.

Problem #2: Ein einfach positiv geladenes Proton fliegt mittig durch einen Kondensator und wird dadurch vom elektrischen Feld beeinflusst. Es weicht von seiner ursprünglichen Flugbahn ab.
- Leiten Sie die Gleichung der Bahnkurve her
- Unter welchen Winkel verlässt es den Kondensator
- Wie groß ist die maximale Auslenkung d von der ursprünglichen Flugbahn?

Daten des Kondensators:
Länge l = 10 cm
Breite b = 1 cm
Geschwindigkeit der Protonen vor Eintritt in den Kondensator v0 = 2 * 106 m/s
Spannung zwischen den Kondensatorplatten U = 500 V
Masse des Protons m = 1,67 * 10-27 kg

Kräfteskizze

Kräfteskizze Flugteilchen im E-Feld

Ansatz: Das Proton macht im Kondensator eine Bahnkurve, welche mit dem waagrechten Wurf verglichen werden kann. Es wirkt nur die senkrechte Kraft Fel, welche eine Beschleunigung nach unten bewirkt (vgl. Fg beim waagrechten Wurf). v0 bleibt konstant. Mit diesem Ansatz und den gegebenen Werten kann eine quadratische Gleichung für die Bahnkurve hergeleitet werden.

Bewegungsgesetze:

Bewegungsgesetze im Kondensator

Mit dieser Bahnkurve kann der restliche Teil der Aufgabe auch komplett mathematisch gelöst werden. Der Austrittswinkel ist dann der Invers-Tangens der ersten Ableitung s'y(sx) an der Stelle sx = l.

Berechnung Austrittswinkel

Die ursprüngliche Flugbahn verlief mittig durch den Kondensator. Die maximale Auslenkung d ist also der Funktionswert von sy(sx) an der Stelle sx = l.

Berechnung maximale Auslenkung

Um den Austrittswinkel physikalisch zu berechnen, braucht man die beiden Geschwindigkeiten v0 und vy. v0 ist gegeben, vy bekommen wir über die Beschleunigungszeit.

Zeit, die das Proton benötigt, um den Kondensator zu durchqueren:

Berechnung der Durchquerungszeit des Protons durch den Kondensator

Beschleunigung in y-Richtung in dieser Zeit:

Berechnung von vy

Nun berechnen wir mit dem Invers-Tangens innerhalb des Dreiecks den Austrittswinkel. Sollte zusätzlich noch nach der Endgeschwindigkeit v gefragt sein, kann diese leicht mit dem Pythagoras berechnet werden.

Berechnung Austrittswinkel

Die maximale Auslenkung d ist die zurückgelegte Strecke in y - Richtung innerhalb der Zeit t = 50ns.

Berechnung maximale Auslenkung

Fall 2: Bewegtes Teilchen im elektrischen Feld und magnetischen Feld

Problem #3: Ein einfach positiv geladenes Proton fliegt mittig durch einen Kondensator und wird dadurch vom elektrischen Feld beeinflusst. Da es seine Flugrichtung aber nicht ändern soll, befindet sich der Kondensator gleichzeitig in einem magnetischen Feld der Flussdichte B. Wie groß muss die Flussdichte B sein, damit das Proton parallel zu den Platten durch den Kondensator fliegt?
Daten des Kondensators: Siehe Problem #2.

Kräfteskizze bei aktiviertem Magnetfeld und elektrischem Feld

Damit das Proton nicht von seiner Bahn abgelenkt wird, muss ein Kräftegleichgewicht herrschen. Bewegte Teilchen im Magnetfeld "verursachen" eine zum Geschwindigkeitsvektor senkrechte Kraft, die Lorentzkraft FL. Diese muss Fel kompensieren. Somit lautet der Ansatz:

Berechnung der magnetischen Flussdichte B

Bei B = 25mT herrscht ein Kräftegleichgewicht. Das Proton fliegt also ohne Ablenkung durch den Kondensator.

Falls B größer als 25 mT oder B kleiner als 25 mT:
Wenn B größer oder kleiner als 25 mT ist, gibt es eine resultierende Kraft, welche die Richtung (den Geschwindigkeitsvektor) des Protons ändert. Achtung: Dadurch ändert sich auch die Richtung der Lorentzkraft!

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